• Arithmétique

    Critère de divisibilité

     

    On dit qu’un entier a est divisible par un entier b si et seulement s’il existe un entier q tel que a = bq

    Ex : • 12 est divisible par 6 car 12 = 6 x 2.

    • 13 n’est pas divisible par 6 car il n’existe aucun entier q tel que 13 = 6 x q.

    Critère de divisibilité par 2 :

    Un nombre est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités est divisible par 2.

    Ex : • 96895685178 est divisible par 2 car 8 est divisible par 2.

    • 578974654677 n’est pas divisible par 2 car 7 n’est pas divisible par 2.

    Critère de divisibilité par 3 :

    Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

    Ex : • 4 578 : 4 + 5 +7 +8 = 24 et 2 + 4 = 6. 6 est divisible par 3 donc 4578 aussi.

    • 3 859 : 3 + 8 + 5 + 9 = 25 et 2 + 5 = 7. 7 n’est pas divisible par 3 donc 3859 non plus.

    Critère de divisibilité par 4 :

    Un nombre est divisible par 4 si et seulement si les deux derniers chiffres représentent un nombre divisible par 4.

    Ex : •45645598716 est divisible par 4 car 16 est divisible par 4.

    •54678465330 n’est pas divisible par 4 car 30 n’est pas divisible par 4.

    Critère de divisibilité par 9 :

    Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

    Ex : • 8622 : 8 + 6 + 2 + 2 = 18 et 8 + 1 = 9. 9 est divisible par 9 donc 8622 aussi.

    • 6935 : 6 + 9 + 3 + 5 = 23 et 2 + 3 = 5. 5 n’est pas divisible par 9 donc 6935 non plus

    Critère de divisibilité par 5 :

    Un nombre est divisible par 5 si et seulement si son chiffre des unités est 0 ou 5.

    Ex : • 65484459820 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 0.

    • 5491594984521658 n’est pas divisible par 5.

    Critère de divisibilité par 11 :

    Pour déterminer si un nombre N est divisible par 11 :

    * on calcule la somme A des chiffres en position impaire ;

    * on calcule la somme B des chiffres en position paire ;

    N est divisible par 11 si et seulement si la différence A – B (ou B – A) est divisible par 11.

    Cela revient à effectuer la somme alternée de ses chiffres.

    Ex : • 235678 : 8 + 6 + 3 = 17 et 7 + 5 + 2 = 14. 17 – 14 = 3. 3 n’est pas divisible par 11, on conclut alors que 235678 n’est pas divisible par 11.

    • 874302 : 0 + 4 + 8 = 12 et 3 + 7 + 2 = 12. 12 – 12 = 0. 0 est divisible par 11, on conclut alors que 874302 est divisible par 11.

     

    Les nombres premiers

     

    Un nombre premier est un nombre qui admet pour seuls diviseurs 1 et lui-même.

    Ex : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41 ....

    Décomposition en produits de facteurs premiers :

    C’est décomposer un nombre avec des nombres premiers. Pour le trouver, il faut essayer de diviser le nombre par les nombres premiers connus dans l’ordre jusqu’à ce que le nombre ne soit plus divisible.

    Ex : Décomposons en facteurs premiers 20328 :

    20328 : 2 = 10164 : 2 = 5082 : 2 = 2541 : 3 = 847 : 7 = 121 : 11 = 11 : 11 = 1.

    Donc 20328 = 2 x 2 x 2 x 3 x 7 x 11 x = 23 x 3 x 7 x 112

     

     

    PGCD

     

    • Le pgcd de deux nombres a et b est le plus grand diviseur commun de ces deux nombres.

    • La décomposition en facteurs premiers du PGCD de plusieurs nombres est formée des facteurs premiers COMMUNS affectés du plus PETIT exposant.

    Ex : Recherchons le PGCD de 90 et 84 :

    - Décomposons en facteurs premiers 90 : 90 = 2 x 32 x 5.

    - Décomposons en facteurs premiers 84 : 84 = 22 x 3 x 7.

    - Donc PGCD (90, 84) = 2 x 3 = 6.

    • Les diviseurs communs de deux nombres sont les diviseurs de leur PGCD.

    Ex : 90 et 84 sont tous les deux divisibles par les diviseurs de 6 car il s’agit de leur PGCD.

    Les diviseurs communs de 90 et 84 sont donc 1, 2, 3 et 6.

     

     

    PPCM

     

    • Le ppcm de deux nombres a et b est le plus petit multiple commun de ces deux nombres.

    • La décomposition en facteurs premiers du PPCM de plusieurs nombres est formée de TOUS les facteurs premiers affectés du PLUS GRAND exposant.

    Ex : Recherchons le PPCM de 18 et 84:

    - Décomposons en facteurs premiers 18: 18 = 2 x 32.

    - Décomposons en facteurs premiers 84 : 84 = 22 x3 x 7.

    - Donc PPCM (18, 84) = 22 x 32 x 7 = 252.

    • Les multiples communs de deux nombres sont les multiples de leur PPCM.

    Ex : Les multiples communs à 18 et 84 sont les multiples de leur PPCM 252.

    Remarque :

    Soit deux nombres a et b : PGCD (a, b) x PPCM (a, b) = ab

    Ex : 6860 et 6776 :

    PGCD (6860, 6776) = 28 et PPCM (6860, 6776) = 1660120.

    On remarque que 6860 x 6776 = 46483360 et 28 x 1660120 = 46483360.

     

     

    Nombres premiers entre eux

     

    Deux nombres a et b sont premiers entre eux si et seulement si leur seul diviseur commun est 1.

    Ex : Calculons le PGCD de 9568 et 7673.

    9568 : 2 = 4784 : 2 = 2392 : 2 = 1196 : 2 = 598 : 2 = 299 : 13 = 23. Donc 9568 = 25 x 13 x 23.

    7679 : 7 = 1097. Donc 7679 = 7 x 1097.

    PGCD (7679, 9568) = 1.

    Donc 7673 et 9568 n’ont comme seul diviseur commun 1, ils sont, premiers entre eux.

     

     

    Trouver les diviseurs d’un nombre : Exemple avec 732.

    • Diviser en facteurs premiers 732 : 732 = 22 x 3 x 61

    20 x 30 x 610 = 1

    20 x 30 x 611 = 61

    20 x 31 x 610 = 3

    20 x 31 x 611 = 183

    21 x 30 x 610 = 2

    21 x 30 x 611 = 122               D723 {1; 2; 3; 4; 6; 12; 61; 122; 183; 244; 366; 732}

    21 x 31 x 610 = 6

    21 x 31 x 611 = 366

    22 x 30 x 610 = 4

    22 x 30 x 611 = 244

    22 x 31 x 610 = 12

    22 x 61 x 611 = 732

     

    Liens utiles: http://plates-formes.iufm.fr/alsace/moodle/mod/resource/view.php?id=1867 (critère de divisibilité)

                        http://plates-formes.iufm.fr/alsace/moodle/mod/resource/view.php?id=1868 (multiples, diviseurs, PGCD, PPCM)

                        http://www.parimaths.com/telechargements/methodes/pdf/M2-Arithmetique.pdf

    Exercices:

    Solutions: http://www.jlsigrist.com/pe1/divsol.html


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