• Les nombres entiers naturels - Numération

    I-        LES NOMBRES ENTIERS.

    1-   Définition.

    Les entiers naturels sont l’outil qui a été élaboré par l’homme pour le dénombrement et l’expression des quantités discrètes (= quantité composée d’éléments « séparés » à l’inverse d’une « quantité continue »).

    Ils forment l’ensemble {0, 1, 2,…, n, n + 1,…} noté N.

     

    N = ensemble des entiers positifs ou entiers naturels.

     

    Les nombres permettent :

     

    -       De représenter des quantités (aspect cardinal = nombre d’éléments dans un ensemble) ou des places dans un rang (aspect ordinal = rang d’un élément dans un ensemble donné).

     

    -       D’anticiper des résultats (on « opère » sur les nombres en l’absence d’objets).

     

    Z = ensemble des nombres entiers relatifs è tous les nombres de N et de leurs opposés

    {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}

    L’équation  b + x = a  a toujours une solution dans cet ensemble (5 – 8 existe dans Z è -3).

     

    Les entiers relatifs permettent de pallier les insuffisances des entiers naturels et de graduer une droite toute entière (même s’ils ne permettent pas d’en repérer tous les points).

     

     

    2-   Propriétés.

    L’ensemble N :

    -       Chaque nombre entier naturel n a un successeur unique noté n + 1.

    -       Tout naturel sauf 0 est le successeur d’un naturel.

    -       N est un ensemble infini è tout entier naturel est suivi d’au moins un autre entier naturel (donc d’une infinité d’entiers naturels).

    -       L’ensemble N est totalement ordonné (on peut toujours comparer deux nombres naturels) è a et b étant deux entiers naturels, a  b si et seulement s’il existe un entier naturel c tel que b = a + c.

    -       Entre deux nombres entiers, il existe un nombre fini d’éléments.

     

    NB : Certaines propriétés ne sont pas vérifiées. En effet, il existe une infinité de nombres entre deux nombres décimaux.

     

    L’ensemble Z :

    -       Si les deux nombres relatifs sont de signes opposés, le nombre positif est plus grand que le nombre négatif (5  -8).

    -       Si les deux nombres sont négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue è -2  -5.

    -       Si les deux nombres sont positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue.

    -       L’ordre dans Z prolonge l’ordre défini dans N : il est compatible avec l’addition et la multiplication par un entier strictement positif.

    ð Si c  0, alors a  b est équivalent à a x c  b x c.

    ð Si c  0, alors a  b est équivalent à a x c  b x c.

    ð Si a  b et c  d, alors a + c   b + d.

     

    NB : certaines équations de la forme a * x = b n’ont pas de solution dans Z (ex : 2 * x = 5).

    NB² : Les nombres entiers relatifs, sauf 1 et -1 n’ont pas d’inverse pour la multiplication (l’inverse de 3, c'est-à-dire le nombre « y » vérifiant 3 * y = 1, n’est pas un nombre relatif).

     

     

    II-     LES SYSTÈMES DE NUMÉRATION.

    Un système de numération est un ensemble de règles d’utilisation des signes et des mots permettant de dire, lire et écrire les nombres.

    Notre système de numération est le système en base 10.

    Il est représenté par deux systèmes : les systèmes de numération écrite et numération orale.

     

    1-   La numération écrite des entiers.

    Ce sont des ensembles de signes graphiques (des symboles) organisés selon des règles précises.

    Au lieu de compter uniquement par unités, on compte par « paquets » (le nombre d’unités dans un paquet s’appelle la base).

     

     

    Numérations de type additif.

     

    La numération romaine è 7 signes.

     

    Chiffres romains

    I

    V

    X

    L

    C

    D

    M

    Équivalence

    1

    5

    10

    50

    100

    500

    1 000

     

    Les règles de construction des nombres se réduisent à des additions et des soustractions de signes juxtaposés en appliquant les règles suivantes :

     

    -       Principe des échanges (IIIII s’écrit V ; V et V donnent X…).

    -       Principe d’économie : on ne juxtapose pas plus de trois signes identiques.

    -       Règles de lecture et d’écriture : les symboles s’écrivent de la gauche vers la droite en ordre de valeur décroissante.

    La valeur d’un symbole écrit à la gauche d’un symbole de plus grande valeur se soustrait.

    ð  DXLIII = 500 + (50 + 10) + 3 =543.

    ð  MCCLXXXIV = 1 000 + 200 + 50 + 10 + 10 + 10 + (5 - 1) = 1 284.

     

     

    La numération égyptienne è décimale ; utilisation de hiéroglyphes pour chaque puissance de 10.

     

    -       Bâton è une unité.

    -       Anse de panier è une dizaine.

    -       Rouleau de papyrus è une centaine.

    -       Fleur de lotus è un millier.

    -       Index courbé (désignant les étoiles) è une dizaine de mille.

    -       Dieu agenouillé (soutenance le ciel) è un million.

     

    Ils pouvaient écrire les nombres jusqu’à 9 999 999.

     

     

    Notre numération.

     

    On utilise le système en base 10 ou système décimal de position.

    -       10 chiffres pour écrire les nombres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

    -       Chaque chiffre a une valeur différente selon sa position (= système positionnel).

    -       On fait des groupements réguliers : 10 unités d’un certain ordre forment une unité de l’ordre immédiatement supérieur.

    -       On décompose le chiffre en utilisant des puissances 10.

     

    Ex : 23 è 2 x 10 + 3 // 235 è 2 x 10 x 10 + 3 x 10 + 5 = 2 x 10² + 3 x 10¹ + 5 x 10⁰ (car 10⁰ = 1).

    Dans 235, « 2 » ne représente pas « deux » mais « 2 centaines » qui s’écrivent 200, le « 3 » désigne « 3 dizaines » donc 30.

     

    Il existe deux formes de décomposition :

    -       La décomposition additive :

    2 563 = 1 000 + 1 000 + 500 + 60 + 3.

    -       La décomposition canonique è tout nombre écrit en base 10 (mcdu) se décompose ainsi : m x 1 000 + c x 100 + d x 10 + u x 1.

    2 563 = 2 x 1 000 + 5 x 100 + 6 x 10 + 3

    2 563 = 2 x 10³ + 5 x 10² + 6 x 10¹+ 3 x 10⁰

    NB : il ne faut pas confondre chiffre et nombre !

    257 est un nombre ; 5 est le chiffre des dizaines de ce nombre.

     

    Un rang correspond à un groupement d’unités. Par ex : 235 è au rang des centaine il y a 3 unités (= 3 paquets de 100), etc.

     

    Il existe des systèmes de numération en d’autres bases que la base 10 (base décimale).

     


    2-   La numération orale des entiers naturels.

    Il existe des mots qui permettent de dire et de lire les nombres.

    Avec les mots « un, deux, trois, trois, quatre … dix, onze, douze, treize, quatorze … vingt, trente, quarante, cinquante, soixante … cent » + « et », on peut lire et écrire tous les nombres entiers de 1 à 999.

    Avec le mot « mille », on peut énoncer tous les nombres entiers jusqu’à 999 999.

    Avec « million », on peut énoncer tous les nombres entiers jusqu’à 999 999 999.

    Avec « milliard », on peut énoncer tous les nombres entiers jusqu’à 999 999 999 999.

    « Zéro » sert à désigner le nombre 0 mais lorsqu’on énonce un entier naturel on ne l’entend jamais.

     

    Un groupe de trois chiffres forme une classe.

     

    ð  classe des unités simples.

    ð  classe des mille.

    ð  classe des millions.

    ð  classe des milliards.

     

    Lorsqu’on écrit un nombre en chiffre, on sépare les classes par un espace (1 320 243).

     

    Lorsqu’on lit un nombre, on le décompose en tranches de trois chiffres en partant de la droite et on prononce le nom des classes (sauf celui de la classe des unités simples).

     

     

    Exemple de tableau pouvant être proposé à des élèves

     

    Classe des milliards

    Classe des millions

    Classe des mille

    Classe des unités simples

    c

    d

    u

    c

    d

    u

    c

    d

    u

    c

    d

    u













     

    è Dans le système de numération orale, la valeur du regroupement par dix est donnée par le terme qui le désigne (cent, mille, etc.).

    è Dans le système de numération écrite en chiffres, elle est donnée par la position du chiffre dans le nombre (= valeur positionnelle).

     

    Le système d’écriture décimal en chiffres est parfaitement régulier.

    Le système oral des nombres jusqu’à cent est irrégulier pour les mots-nombres compris entre onze et seize et pour les noms des dizaines (dix, vingt, trente…).

     

    Les deux systèmes comportent des opérations « cachées », c'est-à-dire des juxtapositions et des énumérations (la juxtaposition étant une addition implicite ; la numération une multiplication implicite).

     

    Ex : pour « cent quatre » il y a une juxtaposition de « cent » et de « quatre » dans l’écriture, mais la valeur du nombre correspond à l’addition de 100 et de 4 (en non pas la juxtaposition de 100 et 4 qui donnerait 1004 – « mille quatre »).

    ð  On n’écrit pas toujours ce qu’on entend et on ne dit pas toujours ce qu’on écrit.

    3-   Rang, ordre, comparaison, intercalation.

     

    • RANG è indique la position dans un ordre : le premier, le second… le n° 1, le n° 2…

    Ex : a, b, c, d è d est le 4ème dans cet ordre mais dans b, a, d, c il est à la 3ème place.

     

    Lorsque les nombres sont utilisés pour représenter un ordre è aspect ordinal du nombre.

     

     

    • ORDRE è disposition des objets les un à la suite des autres, « ordre différent » si objets placés à des positions différentes.

    Ex : a, b, c, d est un ordre mais b, a, d, c  est un autre ordre sur les mêmes lettres.

    -        Dans la numération orale, l’activité de base è apprendre l’ordre des premiers mots-nombres (par les comptines par exemple).

    -        Dans la numération écrite, l’activité de base = apprendre à écrire les entiers naturels et à faire la correspondance entre l’écriture chiffrée et le mot-nombre (à l’aide d’une bande numérique).

     

    • COMPARAISON.

    La comparaison c’est être capable de dire si l’on a : a = b ; a › b ou a ‹ b.

    a  b se lit « a plus grand que b » è a est supérieur à b.

    a  b se lit « a plus petit que b » è a est inférieur à b.

     

    • INTERCALATION.

    Intercaler un nombre entier entre deux autres nombres n’est pas toujours possible.

    C’est le cas lorsque les deux nombres sont consécutifs.

     

     

    PROPRIÉTÉS DES INÉGALITÉS.

    ð  Règle 1 : on peut additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inégalité. Si a  b alors a + c  b + c.

    ð  Règle 2 : on peut multiplier ou diviser par un même nombre strictement positif les deux membres d’une inégalité de même sens.

    Si a  b et c  0 alors a x c  b x c.

     

    Quelques exercices et leur corrigé:

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