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Les bases de la numération
- La division euclidienne.
Soit a et b deux entiers naturels, b ≠ 0.
On appelle a = dividende ; b = diviseur ; q = quotient ; r = le reste
Ex : la division euclidienne de 29 par 7
29 = 4 x 7 + 1 ; 0 ≤ r ≤ b
Propriété
ð La division euclidienne de a par b se traduit par :
a = b x q + r (avec q et r entiers naturels)
0 ≤ r ≤ b
Remarque
(b x q) ≤ a ≤ b x (q + r)
- Les bases de numération.
Rappel
Un système de position en base n (n entier naturel, n ≥ 2) vérifie les propriétés suivantes :
ð Besoin de n symboles distincts pour écrire tous les nombres du système.
ð 0 marque l’absence d’unité pour un rang donné.
ð Position du symbole détermine sa valeur.
ð Groupement échange par paquet de n symbole pour passer au rang immédiatement supérieur.
Écriture en base n ( n є Ν, n ≥ 2)
Base 10²
Base 6 (les chiffres sont 0, 1, 2, 3, 4, 5)
0
6
0 ou (0)6
1
6
1
2
6
2
3
6
3
4
6
4
5
6
5
6
6
10 se lit un, zéro base six
7
6
11
v Décomposition canonique d’un nombre :
3729 = 3 x 103 + 7 x 102 + 2 x 101 +9 x 100
(54312)6 = 5 x 64 + 4 x 63 + 3 x 62 + 1 x 61 + 2 x 60
v Passage d’un nombre écrit en base n (n є Ν, n ≥ 2) à son écriture en base 10
(54312)6 = 5 x 64 + 4 x 63 + 3 x 62 + 1 x 61 + 2 x 60 (écrire la décomposition canonique des nombres en base n)
= 5 x 1296 + 4 x 216 + 3 x 36 + 1 x 6 + 2
= 6480 + 864 + 102 + 6 + 2
= 7460
v Passage d’une écriture en base 10 à une écriture en base n (n є Ν, n ≥ 2)
1ère méthode :
43528 en base 7
a= b x q + r
43528 = 2 x 16807 + 9914
= 2 x 75 + 4 x 2401 + 310
= 2 x 75 + 4 x 7’4 + 6 x 49 + 16
= 2 x 75 + 4 x 7’4 + 6 x 72 + 16
= 2 x 75 + 4 x 7’4 + 6 x 72 + 2 x 71 + 2 x 70
= 2 x 75 + 4 x 7’4 + 6 x 72 + 2 x 71 + 2 x 70 = (240622)7
2ème méthode :
24472 en base 7
24472/7 = 3924, Reste = 4
3924/7 = 560, Reste = 4
560/7 = 11, Reste = 0
11/7 = 1, Reste = 4
1/7 = 0, Reste = 1
(143044)7 il faut aller jusqu'à ce que le quotient soit = 0 ou s’arrêter quand le quotient est inférieur au dividende alors il faut prendre le chiffre du quotient comme premier chiffre du nouveau nombre.
Opération en base n, (n є Ν, n ≥ 2)
Quelques exercices:
Télécharger « numération.docx »
Corrigé:
Télécharger « numeration1sol.html »
Télécharger « numeration2sol.html »
Télécharger « numeration3sol.html »
Encore des exercices:
Tags : base, ≥, , reste, d
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