• Les bases de la numération

    • La division euclidienne.

     

    Soit a et b deux entiers naturels, b ≠ 0.

    On appelle a = dividende ; b = diviseur ; q = quotient ; r = le reste

     

    Ex : la division euclidienne de 29 par 7

    29 = 4 x 7 + 1 ;  0 ≤ r ≤ b

     

    Propriété

     

    ð  La division euclidienne de a par b se traduit par :

    a = b x q + r (avec q et r entiers naturels)

    0 ≤ r ≤ b

     

    Remarque 

    (b x q) ≤ a ≤ b x (q + r)

     

    • Les bases de numération.

     

    Rappel 

    Un système de position en base n (n entier naturel, n ≥ 2) vérifie les propriétés suivantes :

    ð  Besoin de n symboles distincts pour écrire tous les nombres du système.

    ð  0 marque l’absence d’unité pour un rang donné.

    ð  Position du symbole détermine sa valeur.

    ð  Groupement échange par paquet de n symbole pour passer au rang immédiatement supérieur.

     

    Écriture en base n ( n є Ν, n ≥ 2)

     

    Base 10²

    Base 6 (les chiffres sont 0, 1, 2, 3, 4, 5)

    0

         6

    0       ou (0)6

    1

         6

    1

    2

         6

    2

    3

         6

    3

    4

         6

    4

    5

         6

    5

    6

         6

    10      se lit un, zéro base six

    7

         6

    11

    Décomposition canonique d’un nombre :

     

    3729 = 3 x 103 + 7 x 102 + 2 x 101 +9 x 100      

    (54312)6  = 5 x 64 + 4 x 63 + 3 x 62 + 1 x 61 + 2 x 60

     

     

    Passage d’un nombre écrit en base n (n є  Ν, n ≥ 2) à son écriture en base 10

    (54312)6  = 5 x 64 + 4 x 63 + 3 x 62 + 1 x 61 + 2 x 60  (écrire la décomposition canonique des nombres en base n)        

    = 5 x 1296 + 4 x 216 + 3 x 36 + 1 x 6 + 2

    = 6480 + 864 + 102 + 6 + 2

    =  7460

     

    Passage d’une écriture en base 10 à une écriture en base n (n є  Ν, n ≥ 2)

     

    1ère méthode : 

    43528 en base 7

    a= b x q + r

     

    43528 = 2 x 16807 + 9914

               = 2 x 75 + 4 x 2401 + 310

               = 2 x 75 + 4 x 7’4 + 6 x 49 + 16

                   = 2 x 75 + 4 x 7’4 + 6 x 72 + 16

               = 2 x 75 + 4 x 7’4 + 6 x 72 + 2 x 71 + 2 x 70

               = 2 x 75 + 4 x 7’4 + 6 x 72 + 2 x 71 + 2 x 70 = (240622)7

     

    2ème méthode :

    24472 en base 7

    24472/7 = 3924, Reste = 4

    3924/7 = 560, Reste = 4

    560/7 = 11, Reste = 0

    11/7 = 1, Reste = 4

    1/7 = 0, Reste = 1

    (143044)7   il faut aller jusqu'à ce que le quotient soit = 0 ou s’arrêter quand le quotient est inférieur au dividende alors il faut prendre le chiffre du quotient comme premier chiffre du nouveau nombre.

    Opération en base n, (n є  Ν, n ≥ 2)

    Quelques exercices:

    Télécharger « numération.docx »

    Corrigé:

    Télécharger « numeration1sol.html »

    Télécharger « numeration2sol.html »

    Télécharger « numeration3sol.html »

     

    Encore des exercices:

    Télécharger « exercices numération à préparer.docx »


    Tags Tags : , , , ,
  • Commentaires

    Aucun commentaire pour le moment

    Suivre le flux RSS des commentaires

    Vous devez être connecté pour commenter