• Calcul algébrique/opérations

    Propriétés des opérations :

    Commutativité : x*y = y*x

    Associativité : (x*y)*z = x*(y*)

    Elément neutre : x*e = e*x = x

    Symétrique : loi * dispose d’un élément neutre e => x possède un symétrique s’il existe xs tel que

    x*xs = xs*x = e

    Distributivité : x*(y°z) = (x*y) ° (x*z)

     

    Addition dans N :

    Définitions :

    -soit 2 ensembles disjoint A de cardinal a et B de cardinal b => a+b = Card(AÈB)

    -a+b = s, où s = b sauts sur droite numérique à partir de a vers la droite

    Propriétés : commutative, associative, élément neutre = 0, compatible avec relation d’ordre. On peut ajouter membre à membre 2 inégalités de même sens

     

    Multiplication dans N :

    Définitions :

    -produit cartésien ensemble A x ensemble B, Card(A) x Card(B)

    -axb = somme b+b+b+b… où b apparaît a fois

    Propriétés : commutative, associative, élément neutre = 1, distributive sur addition et soustraction, compatible avec relation d’ordre. On peut multiplier membre à membre 2 inégalités de même sens (nb entiers positifs)

     

    Soustraction :

    Définitions :

    - soit un ensemble A de cardinal a, composé d’un ensemble B de cardinal b et d’un ensemble C de cardinal c => a-b = Card(A)-Card(B) = Card(C)

    - a-b = d où d = b sauts sur droite numérique à partir de a vers la gauche

    La soustraction n’est pas une loi de composition interne car ne fonctionne que pour a > ou = b

    Propriétés : compatible avec relation d’ordre, propriété des différences égales : pas de modification d’une soustraction en ajoutant un même nb à ses 2 termes (n’est pas commutative, ni associative, pas d’élément neutre)

     

    Division euclidienne :

    Définition : diviser a/b = chercher q tel que a = b x q + r (a = dividende, b = diviseur, q = quotient, r = reste)

    Si a/b = q => division à quotient exact

    Division euclidienne n’est pas une loi de composition interne car à tout couple d’entiers (a ; b) elle associe un autre couple (q ; r)

     

    Opérations dans Z, D, Q et R :

    Addition : reste une loi de composition interne. Reste commutative, associative et élément neutre = 0, compatible avec relation d’ordre. Mais chaque élément dispose aussi d’un symétrique (opposé).

    Multiplication : reste une loi de composition interne. Reste commutative, associative et élément neutre = 1. N’est pas compatible avec relation d’ordre que sur Z+, D+, Q+ et R+. Dans Z, seul 1 possèdent un symétrique : lui-même. Dans Q et R, tous éléments non nuls ont un symétrique (inverse) : a-1 ou 1/a. Dans D, certains éléments possèdent un inverse.

    Soustraction : est cette fois une loi de composition interne. Compatible avec relation d’ordre, mais on ne peut pas soustraire membre à membre 2 inégalités de même sens, propriété des différences égales (pas commutative ni associative)

    Division dans Q+ et R+ : diviser a/b = rechercher nb q tel que b x q = a => nb q = a x b-1. Pas commutative ni associative, pas d’élément neutre. Compatible avec relation d’ordre dans Q+ et R+.

     

     

    Résolution d’équations et d’inéquations :

    Equation du 1er degré : a X x + b = c X x + d

    Résolution : regrouper d’un côté du = les termes où figure l’inconnue, de l’autre ceux où elle n’apparaît pas.

    Système de 2 équations à 2 inconnues : résolution :

    -éliminer une inconnue dans une des équations => équation du 1er degré où x = seule inconnue : par substitution (isoler x d’un côté du =, y de l’autre => exprimer y en fonction de x => remplacer y par cette expression), par combinaison linéaire (multiplier la première équation par nb qui multiplie x dans la seconde, et la seconde par nb qui multiplie x dans la première => même coefficient multiplicateur devant x dans les 2 équations => soustraire membre à membre les 2 équations => x et son facteur sont identiques des 2 côtés du = et donc s’annulent)

    -reporter valeur de x dans seconde équation pour trouver y

    Inéquation du 1er degré : résolution :

    -idem début résolution équation 1er degré (passer inconnue d’un côté du =)

    -isoler l’inconnue

     

    Preuves d’une opération :

    Contrôle de l’ordre de grandeur :

    -avec classe d’unité à laquelle appartient chiffres dans système numération base 10

    -avec dizaine/centaine/millier… plus proche

    Calcul inverse :

    Division => multiplication (vérifier que D = d X q + r et r < d pour prouver D/d)

    Soustraction => addition (vérifier b + c = a pour prouver que a – b = c)

    Preuve par 9 :

    Reste dans la division /9 d’un nb entier = reste de la division /9 de la somme de ses chiffres. Si elle échoue : résultat = faux, si elle réussit résultat n’est pas forcément juste.

    Pour multiplication :

    -calcul somme des chiffres différents de 9 (reste) pour le multiplicande (en haut), résultat (gauche), et multiplicateur (en bas), puis du produit de restes du haut et du bas (droite)

    -chiffre de droite et de gauche doivent être égaux

    Pour division :

    -calcul reste du diviseur (en haut), du dividende (gauche), du quotient (bas) puis du produit des restes chiffres du haut et du bas (droite)

    -chiffres de droite et de gauche doivent être égaux

    Contrôle du chiffre des unités :

    -a+b=c : chiffre des unités de c = somme chiffres des unités de a et b

    -aXb=c : chiffres des unités de c = chiffre des unités du résultat du produit des chiffres des unités de a et b

    Contrôle des 2 derniers chiffres : idem qu’avec chiffres des unités

     

    Calcul littéral :

    Développer = transformer expression algébrique en une somme de produits la plus courte possible : utilisation de la distributivité et règles des signes pour les produits.

    Factoriser = écrire une expression algébrique sous la forme d’un produit de facteurs.

    Identités remarquables :

    (a + b)² = a² + 2ab + b²

    (a – b)² = a² - 2ab + b²

    (a + b)(a – b) = a² - b²

    Equations du second degré : ax² + bx + c = 0

    X0 est solution si (x – x0) peut y être mis en facteur

    L’équation a 2 solution, x1 et x2 => l’expression peut se factoriser sous la forme a(x – x1)(x – x2)

    L’équation n’a qu’une solution x0 => l’expression peut se factoriser sous la forme a(x – x0), et x0 = racine double de l’équation

    L’équation n’a pas de solution => l’expression ne peut pas se factoriser

    L’équation x² = a admet 2 solutions : √a et -√a

     

     Liens cours: http://www.parimaths.com/telechargements/methodes/pdf/M3-Calcul-Numerique-et-Litteral.pdf

                          http://plates-formes.iufm.fr/alsace/moodle/mod/resource/view.php?id=1231(calcul et opérations)

     

     

    Liens exercices: http://www.parimaths.com/telechargements/cours-exercices/pdf/S3-Calcul-Numerique.pdf

                               http://www.parimaths.com/telechargements/corriges/pdf/S3C-Calcul-Numerique.pdf (corrigé)

                               http://www.parimaths.com/telechargements/cours-exercices/pdf/S4-Calcul-litteral.pdf

                               http://www.parimaths.com/telechargements/corriges/pdf/S4C-Calcul-litteral.pdf (corrigé)

                               http://www.parimaths.com/telechargements/cours-exercices/pdf/S5-Calcul-algebrique.pdf

                               http://www.parimaths.com/telechargements/corriges/pdf/S5C-Calcul-algebrique.pdf (corrigé)

                               http://plates-formes.iufm.fr/alsace/moodle/mod/resource/view.php?id=1249 (calcul et opérations)


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